Trago uma Questão - ENEM 2014 com assunto recorrente, Medidas Estatísticas:

Uma loja que vende sapatos recebeu diversas reclamações dos seus clientes relacionadas à venda de sapatos de cor branca ou preta. Os donos da loja anotaram as numerações dos sapatos com defeito e fizeram um estudo estatístico com o intuito de reclamar com o fabricante.

A tabela contém a média, a mediana e a moda desses dados anotados pelos donos.

Para qualificar os sapatos pela cor, os donos representam a cor branca pelo número 0 e a cor preta pelo número 1.

Sabe-se que a média da distribuição desses zeros e uns é igual a 0,45.

Os donos da loja decidiram que a numeração dos sapatos com maior número de reclamações e a cor com maior número de reclamações não serão mais vendidas.

A loja encaminhou um ofício ao fornecedor dos sapatos, explicando que não serão mais encomendados os sapatos de cor

A) branca e os de número 38.      B) branca e os de número 37.      C) branca e os de número 36. 

D) preta e os de número 38.         E) preta e os de número 37.

Pessoal,

Eis a resposta da questão das medalhas da OBMEP:
"Em uma Olimpíada de Matemática, foram distribuídas várias medalhas de outro, várias de prata e várias de bronze. Cada participante premiado pôde receber uma única medalha. Aldo, Beto, Carlos, Diogo e Elvis participaram dessa olimpíada e apenas dois deles foram premiados. De quantas formas diferentes pode ter acontecido essa premiação?"

Solução:
- Inicialmente notamos que temos um conjunto com n=5 elementos, tomados 2 a 2. Formando assim, subconjuntos, agrupamentos menores.
Então será que é um Arranjo Simples ou uma Combinação Simples?
São os dois ao mesmo tempo. Vejamos:

No Arranjo Simples, os agrupamentos ORDENADOS diferem um do outro:
- Isso ocorre quando os dois obtiverem medalhas distintas, OURO e PRATA, OURO E BRONZE, etc.
Por isso, temos um ARRANJO, pois pode acontecer (OURO,PRATA) que difere de (PRATA,OURO), pela ordem de classificação.
Daí temos:

- Em seguida devemos considerar que o problema não impôs a condição de não haver empates entre os dois premiados, podendo ocorrer (OURO,OURO); (PRATA,PRATA); (COBRE;COBRE).
Em Olimpíadas isso pode ocorrer sem problemas, como ocorre nos Simulados, no ENEM, nos concursos de Redação, etc.
Então vejamos que para cada um dos tipos de medalhas temos uma COMBINAÇÃO, pois a ORDEM  não importa, se as medalhas forem iguais.
Vejamos:

Esse valor 10 será o mesmo para os três tipos de medalha, que resulta em 3x10 = 30.
A resposta final é o soma das possibilidades: 60 + 30 = 90.

Valeu.
Bons Estudos.

Será que dá certo?
Usando os algarismos 2, 4, 6, 7 e 9, quantos números naturais de 4 algarismos distintos podemos formar?

Bem, vejamos:
Trata-se de um problema de Permutação Simples, um recurso que usamos na Análise Combinatória para fazer a contagem dos elementos de um conjunto. Neste caso, o objetivo é contar os elementos sem enumera-los um a um, embora possamos faze-los, em alguns casos seria bem trabalhoso.

Inicialmente é preciso esclarecer o seguinte:
Quando usamos a palavra número falamos do número completo do tipo 2496.
Quando usamos a palavra algarismos nos referimos as símbolos separadamente, 2, 4, 6, 7, 9.

Vamos a solução:
Se o número será formado por quatro algarismos teremos quatros casas, Milhar, Centena, Dezena e Unidade. Lembrando que na casa das unidades só poderão ficar os algarismos 2, 4, 6, pois se queremos apenas os números pares devem terminar nestes algarismos.  Por exemplo:
9762; 2496, etc.


Lembrando ainda que os números são distintos, ou seja diferentes entre, portanto não podemos ter casos do tipo: 2222, 2244, 3344, 9992, etc.

Iniciamos portanto trabalhando as restrições, que foram: número par formado por algarismos distintos. Observemos as casas decimais:





Devemos colocar nas casas a quantidade de algarismos que ali podem ficar. Portanto, na casa das Unidades apenas os algarismos pares 2, 4,6, que são três. Portanto, tem-se:

Acontece que um dos algarismos pares, separadamente, poderá ocupar a casa das unidades, enquanto isso os demais se juntarão aos ímpares para concorrer às demais casas decimais, iniciando pela Milhar.
Daí temos na 1a. casa (Milhar), quatro algarismos, os dois ímpares e os dois pares que sobraram.
Na 2.casa (Centena) serão três algarismos, na 3a.casa (Dezena) serão dois algarismos.
Fazendo a multiplicação, tem-se:

Mais uma vez lembramos que os valores expressos representam a quantidade de algarismos que podem ocupar as casas decimais. Para esta questão, tem-se um total de 72 números pares de algarismo distintos formados por 2, 4, 6, 7 e 9.

Serão 24 números terminados com o algarismo 2, depois como 4 e depois com o 6.
A título de exemplo, observemos a figura com aqueles terminados com o algarismo 2:

Valeu.

Olá pessoal,

Eis a questão:
Alexandre e Bruno fizeram um concurso para o mesmo cargo. Alexandre acertou 15 questões, Bruno acertou 20 questões, ambos tiveram respostas iguais e corretas em 10 questões e 5 questões não tiveram respostas corretas por Alexandre e por Bruno. O total de questões que havia na prova era

Esta questão contém o conteúdo de operação com conjuntos, que está entre os componentes curriculares do 1o. ano do Ensino Médio.

Usaremos o Diagrama de Venn para representar os conjuntos. São círculos que contém os elementos que pertencem no interior e os elementos não pertencentes no seu exterior. Aqui colocaremos a quantidade de elementos, que são as questões da prova.
Portanto, os acertos ficarão no interior dos respectivos círculos e as respostas não corretas ficarão no exterior.

Iniciamos o exercício com o valor que representa a interseção, ou seja, a quantidade de questões que tiveram respostas iguais e corretas para os dois rapazes. Neste caso 10.

- Analisando os acertos de Alexandre que foram 15 questões, onde 10 se repetem com Bruno e o restante 15-10=5 foram aquelas que apenas Alexandre acertou. Temos a seguinte sequência da figura:

 

Em seguida, analisamos os acertos de Bruno que foram 20, porém temos que diminuir as 10 que ele acertou junto com Alexandre, daí concluímos ele acerto sozinho 10 questões. Vejamos:

Por fim, verificamos que restam ainda 5 questões que não tiveram respostas certas por nenhum dos dois rapazes, por isso fica fora dos dois círculos. Mostram a solução final abaixo, que após excluir as repetições somamos 5 + 10 + 10 + 5 = 30 questões certas.

 

 

Valeu.

 

Olá gente!
Ei mais um exercício de raciocínio lógico pra expandir a mente, como disse Albert Einstein.
 

"A mente que se abre a uma nova ideia jamais voltará ao seu tamanho original."

Disponível em: http://www.obmep.org.br/provas_static/pf1n2-2007.pdf

Vejam a resposta da Obmep:

As instruções dizem que ovos e creme não podem estar juntos no bolo, bem como leite e laranja; isso elimina as opções (B), (C) e (E). Elas dizem também que um bolo sem creme não pode ter leite, o que elimina a opção (A).

Agora, vamos rescrever as proposições com outras parecidas que não alterem o que foi dito:

1) "Se colocar ovos, não coloque creme", corresponde a:

     "bolo com ovos, sem creme" ou "sem ovos, com creme".
Indica que ovos e creme não podem estar juntos;
Torna parcialmente verdadeira a opção A. Porém de imediato, exclui a opção C; e ainda, valida parte da D, no trecho "ovos e ..., mas ... e sem creme.

 2) "Se colocar leite, não coloque laranja", assemelha-se a:

"bolo com leite, sem laranja" ou "sem leite, com laranja";

Isso descarta as opções B e E, pois leite e laranja não podem estar juntos no mesmo bolo; Porém, torna verdadeiro outro trecho da opção D, em: "... e laranja, mas sem leite e ..."
 

 3) "Se colocar creme, não coloque leite", é o mesmo que:

 "bolo com creme, sem leite" ou "sem creme, com leite".

Exclui definitivamente a opção A. 
Com isso, confirma-se D como única opção correta. 

Até a próxima pessoal.

Oi galera, tudo bem? Espero que sim.
Observem que interessante esta operação do peso dos animais na balança.
Pode parecer difícil, mas torna simples depois que traduzimos as equações.

Vejamos com é simples a solução dos animais na balança.

 

Abraços.
Até a  próxima.

Oi pessoal,

Que tal usar a matemática como passatempo? Quebrar um pouco da ideia de que Matemática por ser ciência exata é sem graça.
Vejam como é fácil.
Observem as pirâmides abaixo e sigam os passos.

1o. Passo: Peçam a um amigo, ou amiga, escolha um número de 1 a 30, sem revelar o número.
2o. Passo: Depois apontando as pirâmides peça que lhe diga se o número está ali ou não.
                 Vá memorizando as pirâmides que indicar onde o número está presente.
3o. Passo: Para encontrar o número, basta somar os números dos topos das pirâmides indicadas pela pessoa.

Divirtam-se.
Boa Sorte.
Ah sim, o segredo, fica pra depois.

Valeu galera.

Os 35 camelos
Este problema é baseado em uma passagem do livro “O Homem que Calculava”, de Malba Tahan.
Nesta passagem, Beremiz – o homem que calculava – e seu colega de jornada encontraram três homens que discutiam acaloradamente ao pé de um lote de camelos.
Por entre pragas e impropérios gritavam, furiosos:
- Não pode ser!
- Isto é um roubo!
- Não aceito!
O inteligente Beremiz procurou informar-se do que se tratava.
- Somos irmãos – esclareceu o mais velho – e recebemos como heranças esses 35 camelos. Segundo vontade de nosso pai devo receber a metade, o meu irmão Hamed uma terça parte e o mais moço, Harin, deve receber apenas a nona parte do lote de camelos. Contudo, não sabemos como realizar a partilha, visto que a mesma não é exata.
- É muito simples – falou o Homem que Calculava. Encarrego-me de realizar, com justiça, a divisão se me permitirem que junte aos 35 camelos da herança este belo animal, pertencente a meu amigo de jornada, que nos trouxe até aqui.
E, assim foi feito.
- Agora – disse Beremiz – de posse dos 36 camelos, farei a divisão justa e exata.
Voltando-se para o mais velho dos irmãos, assim falou:
- Deverias receber a metade de 35, ou seja, 17, 5. Receberás a metade de 36, portanto, 18. Nada tens a reclamar, pois é claro que saíste lucrando com esta divisão.
E, dirigindo-se ao segundo herdeiro, continuou:
- E tu, deverias receber um terço de 35, isto é, 11 e pouco. Vais receber um terço de 36, ou seja, 12. Não poderás protestar, pois tu também saíste com visível lucro na transação.
Por fim, disse ao mais novo:
- Tu, segundo a vontade de teu pai, deverias receber a nona parte de 35, isto é, 3 e tanto. Vais receber uma nona parte de 36, ou seja, 4. Teu lucro foi igualmente notável.
E, concluiu com segurança e serenidade:
- Pela vantajosa divisão realizada, couberam 18 camelos ao primeiro, 12 ao segundo, e 4 ao terceiro, o que dá um resultado (18+12+4) de 34 camelos. Dos 36 camelos, sobraram, portanto, dois. Um pertence a meu amigo de jornada. O outro, cabe por direito a mim, por ter resolvido, a contento de todos, o complicado problema da herança!
- Sois inteligente, ó Estrangeiro! – exclamou o mais velho dos irmãos. Aceitamos a vossa partilha na certeza de que foi feita com justiça e equidade!

A questão é: Qual a explicação matemática para a partilha realizada por Beremiz, de tal forma que além de conceder vantagens aos irmãos, ainda fez sobrar um camelo para si?
Veja a solução no Blog.

 

Olá galera,

Trago aqui a explicação para o problema da divisão do 35 camelos. Problema este contido no livro "O homem que calculava" de Malba Tahan, a quem estão reservados os direitos autorais.

Incialmente vejamos a situação em que os herdeiros brigavam entre si, insatisfeitos com a divisão:

Agora, mostramos a solução de Beremiz:



Agora vejamos a explicação matemática para a situação.

Verificamos que não se trata de mágica, mas de um simples cálculo matemático.
A gente percebe que desde o início o "pai" deixou aos filhos um desafio de saber dividir, um ensinamento de vida. Filosofia, História, Matemática, tudo junto e misturado.

Valeu.